Александр СОЛОДУХА родился в семье военнослужащего. В 1976 году окончил среднюю школу в Приозёрске Казахской ССР.

Учился в музыкальной школе по классу фортепиано. В старших классах играл на гитаре, клавишных в школьном ВИА, был одним из солистов группы. В 1976 году поступил на I курс санитарно-гигиенического факультета Карагандинского медицинского института. В составе агитбригад выезжал с концертами по студенческим строительным отрядам. В 1982 году окончил Минский медицинский институт. Работал врачом, участвовал в художественной самодеятельности.

В 1989 году начинает работать солистом театра песни Ядвиги ПОПЛАВСКОЙ и Александра ТИХАНОВИЧА.

1991 год – начало сольной карьеры, выступление с группой «КАРУСЕЛЬ».

Был участником первого «СЛАВЯНСКОГО БАЗАРА В ВИТЕБСКЕ».

В 1995 году приехал в Россию и выпустил альбом «ЗДРАВСТВУЙ, ЧУЖАЯ МИЛАЯ».

В 2000 году вышел альбом «КАЛИНА, КАЛИНА», имевший хороший спрос в России.

В 2005 году состоялась презентация альбома «СОТНИ КИЛОМЕТРОВ ДО ЛЮБВИ».

20 сентября 2007 в витебском Летнем амфитеатре состоялся сольный концерт (сотый концерт в рамках тура по городам Беларуси в поддержку альбома) Александра СОЛОДУХИ, посвящённый 20-летнему юбилею концертной деятельности артиста.

10 января 2018 года Александру СОЛОДУХЕ присвоено звание заслуженного артиста Республики Беларусь.